MBA微積分學：客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數(shù)學中引入了變量的概念后，就有可能把運動現(xiàn)象用數(shù)學來加以描述了。由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運用的加深，也由于科學技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學。微積分學這門學科在數(shù)學發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學中的最大的一個創(chuàng)造。

    微積分學的建立

    從微積分成為一門學科來說，是在十七世紀，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。

    公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。作為微分學基礎(chǔ)的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣?！边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。

    到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。

    十七世紀的許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格;英國的巴羅、瓦里士;德國的開普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。十七世紀下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題(微分學的中心問題)，一個是求積問題(積分學的中心問題)。

    牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學來考慮的。牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度(微分法);已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。

    德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號，遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。

[FS:PAGE]    微積分學的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。一門科學的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個人或幾個人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。

    不幸的事，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學科的創(chuàng)立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學家和英國數(shù)學家的長期對立。英國數(shù)學在一個時期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學發(fā)展整整落后了一百年。

    其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼詞早10年左右，但是整是公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候，由于民族偏見，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。

    應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量;萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學危機的產(chǎn)生。

    直到19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，後來又經(jīng)過德國數(shù)學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎(chǔ)。才使微積分進一步的發(fā)展開來。任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、科西……

    歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數(shù)學也好，都是一種常量數(shù)學，微積分才是真正的變量數(shù)學，是數(shù)學中的大革命。微積分是高等數(shù)學的主要分支，不只是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績。

    微積分的基本內(nèi)容

    研究函數(shù)，從量的方面研究事物運動變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學分析。

    本來從廣義上說，數(shù)學分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學科，但是現(xiàn)在一般已習慣于把數(shù)學分析和微積分等同起來，數(shù)學分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學和積分學。

    微分學的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。

    積分學的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。

    微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運動三定律。此后，微積分學極大的推動了數(shù)學的發(fā)展，同時也極大的推動了天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經(jīng)濟學等自然科學、社會科學及應(yīng)用科學各個分支中的發(fā)展。并在這些學科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計算機的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。